एक त्रिभुज की भुजाएँ समान्तर श्रेढ़ी में है और सबसे बड़ा कोण सबसे छाटे कोण से `90^(@)` बड़ा है | सिद्ध करें कि त्रिभुज की भुजाएँ `(sqrt(7)-1):sqrt(7) : (sqrt(7) +1)` के अनुपात में है |

Explanation

माना कि त्रिभुज की भुजाएँ `x-y, x,x +y` है और सबसे छोटा कोण `theta` है | तब सबसे बड़ा कोण ` = 90^(@) + theta` और तीसरा कोण `90^(@) - 2theta`
अब सूत्र से, `(a)/(sinA) = (b)/(sinB) = (c)/(sinC)`
`therefore (x-y)/(sintheta) = (x)/(sin(90^(@)-2theta)) =(x+y)/(sin(90^(@)+theta))`
या, `(x-y)/(sintheta) = (x)/(cos2theta)=(x+y)/(costheta)`
`therefore` प्रत्येक अनुपात ` = ((x-y)+(x+y))/(sintheta+costheta) = ((x+y)-(x-y))/(costheta-sintheta)`
`therefore (x)/(cos2theta) = (2x)/(sintheta+costheta) = (2y)/(costheta-sintheta)`
`therefore 2(cos2theta) = sin theta + cos theta" "(1)` और `(x)/(y) = (2cos2theta)/(costheta-sintheta)" "...(2)`
अब (1) से, `2(cos^(2)theta-sin^(2)theta) = sintheta+costheta,` या, `2(cos theta-sintheta) =1" "...(3) [because cos theta + sin theta ne 0]`
और (2) से, `(x)/(y) = 2(cos theta + sintheta)" "...(4)`
(3) और (4) को वर्ग करके जोड़ने पर,
`1 + (x^(2))/(y^(2)) =4{costheta-sintheta)^(2) +(costheta+sintheta)^(2)}`
या, `1 + (x^(2))/(y^(2)) = 4 xx 2 =8, therefore (x^(2))/(y^(2)) = 7, therefore x = sqrt(7).y.`
`therefore` त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात ` = (x-y):x:(x+y)`
` = (sqrt(7)-1)y : (sqrt(7)+1)y`
` = (sqrt(7)-1) : sqrt(7) : (sqrt(7) +1)`