किसी A.P. के प्रथम p पदों का योग उसके प्रथम q पदों के योग के बराबर हैं । तब सिद्ध करें कि उसके (p + q) पदों का योग शून्य हैं ।

Explanation

मान लीजिए A.P. का प्रथम पद a तथा सार्व - अंतर d हैं ।
दिया हैं , `S_(p) = S_(q)`
`therefore (p)/(2) [ 2a + ( p -1) d ] = (q)/(2) [ 2a + ( q - 1)d ] ` या , 2ap + p(p-1) d = 2aq + q(q - 1) d
या , `a( p - q) + d( p^(2) - p - q^(2) + q) = 0 `
या , `2a ( p - q) + d{( p ^(2) - q^(2) ) - ( p - q ) } = 0`
या (p - q) [2a + ( p + q - 1) d ] = 0
या , 2a ( p + q - 1)d = 0 . [ `because p ne q`] ....(i)
अब, `S_(p + q) = (p + q)/(2) [ 2a + ( p + q - 1) = 0 [ From (i)]`