ऐसी दो धन संख्याएँ x और y ज्ञात कीजिए जिनका योग 35 हो और गुणनफल `x^(2)y^(5)` उच्चतम हो.

Explanation

माना `P=x^(2)y^(5)`
अब `x+y=35 implies x=35-y`
`thereforeP=x^(2)y^(5)=(35-y)^(2)*y^(5)`
`implies(dP)/(dy)=(35-y)^(2)5y^(4)5y^(4)+y^(5)2(35-y)(-1)`
`=y^(4)(35-y)[5(35-y)-2y]`
`=y^(4)(35-y)(175-5y-2y)`
`=y^(4)(35-y)(175-7y)`
`(35y^(4)-y^(5))(175-7y)`
और `(d^(2)P)/(dy^(2))=(35y^(4)-y^(5))(-7)+(175-7y)(4xx35xxy^(3)-5y^(4))`
`=-7y^(4)(35-y)+(25-y)xx5y^(3)(28-y)`
`=-7y^(4)(35-y)+35y^(3)(25-y)(28-y)`
उच्चतम मान के लिए `(dP)/(dy)=0`
`impliesy^(4)(35-y)(175-7y)=0`
`impliesy=0,y=25,y=35`
जब `y=0,x=35-0=35` और गुणनफल `x^(2)y^(5)` शुन्य हो जायेगा.
जब `y=35` और `x=35-35=0`तो पुनः गुणनफल `x^(2)y^(5)` शुन्य हो जाएगा.
`thereforey=0` और `y=35,y` के असम्भव मान है.
जब `y=25` तो
`((d^(2)P)/(dy)^(2))_(y=25)=-7(25)^(4)xx(35-25)+35xx(25)^(3)xx(25-25)(28-25)=-7xx390625xx10+0lt0`
`thereforeP` उच्चतम है.
अतः `y=25`और `x=35-25=10` इसलिए संख्याएँ 10 और 25 है.