`[xsin^(2)((y)/(x))-y]dx+x dy=0 , y=(pi)/(4)` यदि x = 1

Explanation

दिया है, `sin^(2)((y)/(x))-(y)/(x)+(dy)/(dx)=0`
`implies (dy)/(dx)=(y)/(x)-sin^(2)((y)/(x))" ....(1)"`
दिया गया अवकल समीकरण समघातीय है।
माना `y=vx implies (dy)/(dx)=v+x(dv)/(dx)`
समीकरण (1) से, `v+x(dv)/(dx)=v-sin^(-2)v`
`implies x(dv)/(dx)=-sin^(2)v`
`implies cosec^(2)vdv=-(1)/(x)dx`
समाकलन करने पर,
`intcosec^(2)vdv=-int(dx)/(x)implies-cotv=-log|x|+C`
`=log|x|-cotv=Cimplies log|x|-cot((y)/(x))=C" ....(2)"`
जब x = 1, तो `y=(pi)/(4)implieslog|1|-cot.(pi)/(4)=C`
`implies C=0-1=-1`
C का मान समीकरण (2) में रखने पर,
`log|x|-cot((y)/(x))=-1`
`implies log|x|-cot((y)/(x))=-loge`
`implies cot((y)/(x))=log|ex|`
जोकि दिए गए समीकरण का अभीष्ट हल है।