रेखाएँ , जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित है , के बीच की न्यूनतम दुरी ज्ञात कीजिए :
` vecr = ( hati + 2hatj + 3 hatk) + lamda ( hati - 3hatj + 2hatk) ` और ` vecr = 4 hati + 5hatj + 6hatk + mu ( 2hati + 3hatj + hatk ) `

Explanation

दी गई रेखाएँ निम्न है
` vecr = hati + 2hatj + 3hatk + lamda ( hati -3hatj + 2hatk ) `
तथा ` vecr = 4hati + 5hatj + 6hatk + mu ( 2 hati + 3hatj + hatk ) `
दिए गए समीकरण की तुलना ` vecr = veca _ 1 + lamda vecb_ 1 ` तथा ` vecr = veca _ 2 + mu vecb _ 2 ` से करने पर,
` veca _ 1 = hati + 2hatj + 3 hatk , vecb _ 1 = hati - 3hatj + 2hhatk `
तथा ` veca _ 2 = 4 hati + 5hatj + 6hatk , vecb_ 2 = 2hati+ 3 hatj + hatk `
अब, ` veca _ 2- veca _ 1 = ( 4hati + 5hatj + 6hatk ) - ( hati + 2hatj + 3hatk ) `
` therefore vecb _ 1 xx vec b _ 2 =| {:( hati,,hatj,,hatk),(1,,-3,,2) ,( 2,,3,,1):}|`
` = hati ( - 3 - 6 ) - hatj ( 1 - 4 ) + hatk ( 3 + 6 ) `
` = -9 hati + 3hatj + 9 hatk `
` rArr |vecb_ 1 xx vec b _ 2 | = sqrt((- 9 ) ^(2) + ( 3) ^(2) + ( 9 ) ^(2)) `
` = sqrt ( 81 + 9 + 81 ) `
` sqrt ( 171 ) = 3 sqrt(19 ) `
` therefore ` अभीष्ट न्यूनतम दुरी
` d = |((vecb _ 1 xx vec b_ 2 ) * ( veca _ 2 -veca _ 1 ) ) /(|vecb_ 1 xx vecb _ 2 |)| `
` = (| ( - 9 hati + 3hatj + 9 hatk ) * ( 3hati + 3hatj + 3hatk )|)/( 3sqrt ( 19)) `
` = (| - 9 xx 3 + 3 xx 3 + 9 xx 3 |)/( 3 sqrt ( 19)) `
` = ( -27 + 9 + 27 ) /( 3 sqrt ( 19)) = ( 9 ) /(3sqrt ( 19)) = (3) /(sqrt( 19)) `
अतः दी गई दो रेखाओं के बीच की न्यूनतम दुरी ` ( 3) /(sqrt(19) ) ` इकाई है |