52 ताशों की एक गडडी से 4 पत्तों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करो इन तरीकों में से कितनों में
(i) चारों पत्ते एक की प्रकार (suit) के हैं ?
(ii) चारों पत्ते चार विभिन्न प्रकारों के हैं ?
(iii) चारो पत्ते तस्वीरें हैं ?
(iv) दो पत्ते लाला तथा दो पत्ते काले हैं ?
(v) चारों पत्ते एक ही रंग के हैं ?

Explanation

52 ताशों में से 4 पत्तों को चुनने के प्रकार `= ""^(52)C_(4)`
`= (52!)/(48!4!) = 270725`
(i) 52 ताशों की गड्डी में 4 प्रकार के बराबर -2 पत्ते होते हैं ।
गड्डी में प्रत्येक प्रकार के पत्तों की संख्या `= 13`
चारों पत्ते एक ही प्रकार के होंगे यदि वह ईंट, चिड़ी हुकुम अथवा पान के हैं ।
ईंट के पत्तों 13 में से 4 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(4)`
चिड़ी के 13 पत्तों में से 4 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(4)`
हुकुम के 13 पत्तों में से 4 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(4)`
पान के 13 पत्तों में से 4 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(4)`
अतः योग सिद्धान्त से कुल प्रकार `= ""^(13)C_(4) + ""^(13)C_(4) + ""^(13)C_(4) + ""^(13)C_(4)`
`= 4 xx ""^(13)C_(4)`
`= 4 xx (13xx12 xx11xx10)/(4xx3xx2xx1)`
`= 2 xx 13 xx 11 xx 10`
`= 2860`
(ii) गड्डी में प्रत्येक प्रकार के पत्तों की संख्या `= 13`
चारों पत्ते चार भिन्न प्रकार के होंगे यदि प्रत्येक प्रकार का चुना जाए।
ईंट के 13 पत्तों में से 1 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(1) = 13`
चिड़ी के 13 पत्तों में से 1 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(1) = 13`
हुकुम के 13 पत्तों में से 1 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(1) = 13`
पान के 13 पत्तों में से 1 को चुनने के प्रकार `= ""^(13)C_(1) = 13`
अतः गुणन सिद्धांत से कुल प्रकार `= 13xx13xx13xx13 = 13^(4) = 25861`
(iii) गड्डी से कुल 12 तस्वीरें होती है जिनमें से 4 पत्ते `""^(12)C_(4)` प्रकार से चुने जा सकते हैं ।
अतः कुल प्रकार `= ""^(12)C_(4) (12xx11xx10xx9)/(4xx3xx2xx1)`
`= 11xx5xx9 = 495`
(iv) गड्डी में 26 लाल तथा 26 काले पत्ते जाते हैं ।
26 लाल पत्तों में से 2 चुनने के प्रकार `= ""^(26)C_(2)`
26 काले पत्तों में से 2 चुनने के प्रकार `= ""^(26)C_(2)`
अतः गुणन सिद्धान्त से
2 लाल तथा 2 काले पत्ते चुनने के प्रकार `= ""^(26)C_(2) xx ""^(26)C_(2)`
`= (26xx25)/(2xx1)xx(26xx25)/(2xx1)`
`= 13xx25xx13xx25`
`= 105625`
(v) चारों पत्ते एक ही रंग के होंगे यदि वह लाला अथवा पत्ते काले हैं
26 लाल पत्तों में से 4 चुनने के प्रकार `= ""^(26)C_(4)`
26 काले पत्तों में से 4 चुनने के प्रकार `= ""^(26)C_(4)`
योग सिद्धान्त से कुल प्रकार `= ""^(26)C_(4) + ""^(26)C_(4)`
`2 xx ""^(26)C_(4)`
`= 29900`