एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार पात्र में रखीएक आदर्श गैस स्वतंत्रतापूर्वक चलायमान द्रव्यमान M के पिस्टन को साधती है। पिस्टन और पात्र दोनों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल A है। संतुलन की स्थिति में गैस का दाब `P_(0)`तथा आयतन `V_(0)`है संतुलन की स्थिति से पिस्टन को थोड़ा - सा विस्थापित करके छोड़ दिया जाता है । यदि निकाय वातावरण से पूर्णतः विलगित हो , तो पिस्टन के आवर्ती दोलनों की आवृति होगी -

Options

A. `1/(2pi).(AgammaP_(0))/(V_(0)M)`
B. `1/(2pi).sqrt((A^(2)gammaP_(0))/(V_(0)M))`
C. `1/(2pi).sqrt((A^(2)gammaP_(0))/(V_(0)M))`
D. `1/(2pi).sqrt((MV_(0))/(AgammaP_(0)))`

Answer

C

Explanation

मानलो पिस्टन को x दूरी तक विस्थापित किया जाता है।
तब गैस का आयतन`= V_(0)-Ax`
रुद्धोष्म प्रक्रम में `P_(1)v_(1)^(gamma)=P_(1)V_(2)^(gamma)`
`rArr P_(0)V_(0)^(gamma) = P (V_(0)-Ax)^(gamma) rArrP_(0)V_(0)^(gamma) = PV_(0)^(gamma) (1-(Ax)/(V_(0)))^(gamma)`
` rArr P_(0)=P (1-(Ax)/(V_(0)))`
`rArr P = P_(0)(1-(Ax)/(V_(0)))^(-gamma) = P_(0)(1+(gammaAx)/(V_(0)))`
अतः आरोपित बल `F = (P-P_(0))A = (P_(0)gammaA^(2)x)/(V_(0))`
इसलिए त्वरण `alpha = F/M = (P_(0)gammaA^(2)x)/(V_(0))`
सरल आवर्त गति में `alpha = omega^(2)x rArr omega^(2) = (P_(0)gammaA^(2))/(V_(0)M) rArr omega = sqrt((A^(2)gammaP_(0))/(V_(0)M))`
या `2piD = sqrt((A^(2)gammaP_(0))/(V_(0)M))rArrv = 1/(2pi)sqrt((A^(2)gammaP_(0))/(V_(0)M))`