किसी चालक के बीच विभवान्तर तथा मुक्त इलेक्ट्रॉनों के अनुगमन वेग के बीच सम्बन्ध स्थापित कीजिए।

Explanation

अनुगमन (अपवाह) वेग-इलेक्ट्रॉनों को प्राप्त वह सूक्ष्म नियत वेग जो मुक्त इलेक्ट्रॉनों को तार की लम्बाई के अनुदिश उच्च विभव वाले सिरे की ओर गति के लिए प्रेरित करता है , अनुगमन वेग कहलाता है।
मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल अथवा अनुगमन वेग के आधार पर ओम के नियम का निगमन-माना किसी चालक तार की लम्बाई `l` तथा परिछेद का क्षेत्रफल `A` है। जब चालक तार के सिरों के बीच विभवान्तर `V` स्थापित किया जाता है तो इसमें वैधुत धारा `i` प्रवाहित होने लगाती है। यदि चालक तार के प्रति एंकाक आयतन में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या `n`, इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग `v_(d)` तथा इलेक्ट्रॉन का आवेश `e` हो तो
चालक में प्रवाहित धारा `i=neAv_(d)`.....`(1)`
तार के प्रत्येक बिन्दु पर वैधुत क्षेत्र की तीव्रता `E=V//l`
वैधुत क्षेत्र `(E)` द्वारा प्रत्येक मुक्त इलेक्ट्रॉन पर आरोपित बल
`F=eE=eV//l`
यदि इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान `m` हो तो इस बल के कारण इलेक्ट्रॉन में उत्पन्न त्वरण
`a=F//m=eV/ml`.....`(2)`
चालक तार के भीतर मुक्त इलेक्ट्रॉन धातु के घन आयनो से बार-बार टकराते रहते है। अतः श्रान्तिकाल `tau` में इलेक्ट्रॉन के त्वरण `a` के कारण वैधुत क्षेत्र `E` की विपरीत दिशा में इलेक्ट्रॉन के वेग `atau` में की वृद्धि होगी। यदि किसी क्षण वैधुत क्षेत्र की अनुपस्थिति में इलेक्ट्रॉन का उष्मीय वेग `u_(1)` हो तो वैधुत क्षेत्र की उपस्थिति में यह वेग बढ़कर `(u_(1)+atau_(1))` हो जाएगा। इसी प्रकार अन्य इलेक्ट्रॉनों के वेग भी `(u_(2)+atau_(2)),(u_(3)+atau_(3)),....` हो जाएँगे। चूँकि सभी `n` इलेक्ट्रॉनों का औसत वेग ही मुक्त इलेक्ट्रॉनों का अनुगमन वेग `(v_(d))` होता है।
अतः `v_(d)=((u_(1)+atau_(1))+(u_(2)+atau_(2))+....(u_(n)+atau_(n)))/(n)`
`=((u_(1)+u_(2)+...+u_(n))/(n))+((tau_(1)+tau_(2)+...+tau_(n))/(n))a`
`=0+atau=atau`
जहाँ `((u_(1)+u_(2)+...+u_(n))/(n))` इलेक्ट्रॉनों का औसत उष्मीय वेग है, जिसका मान शून्य होता है तथा `((tau_(1)+tau_(2)+....+tau_(n))/(n))` इलेक्ट्रोंनों का दो क्रमागत टककरो के बीच का औसत समयान्तराल है, इसे श्रान्तिकाल `tau` से प्रदर्शित करते है।
अतः अनुगमन वेग `v_(d)=atau`
समीकरण `(2)` से `a` का मान रखने पर , `v_(d)=((eV)/(ml))tau`
यह अनुगमन वेग तथा श्रान्तिकाल में सम्बन्ध है तथा यही अनुगमन वेग ओर विभवान्तर में सम्बन्ध है।
`v_(d)` का मान समीकरण `(1)` में रखने पर ,
`i="ne"A((etau.V)/(ml))=("ne"^(2))/(m).(AtauV)/(l)`
अथवा `(V)/(i)=(m)/("ne"^(2)tau).(l)/(A)`
`(m)/("ne"^(2)tau).(l)/(A)` एक निश्चित ताप पर दिए गए चालक तार के लिए नियतांक है। इसे चालक तार का वैधुत प्रतिरोध `R` कहते है।
अतः `R=(ml)/("ne"^(2)tauA)` अथवा `(V)/(i)=R` (नियतांक )
यही ओम का नियम है।