सिध्द कीजिए की `sqrt(2)` अपरिमेय संख्या है ।

Explanation

माना इसके विपरीत `sqrt(2)` एक परिमेय संख्या है तब परिमेय संख्या की परिभाषा `sqrt(2) = (p)/(q)`
जहां पूर्णांक p व q इस प्रकार हैं की इनमे 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखण्ड नहीं है । अर्थात HCF (p, q) = 1
दोनों और का वर्ग करने पर, `(sqrt(2))^(2) = (p^(2))/(q^(2)) rArr" "(p^(2))/(q^(2))`
`rArr" "2q^(2) = p^(2) rArr" "2|p^(2)" "(because 2 | 2q^(2) "तथा"2q^(2) = p^(2))`
`rArr" "2|p" "...(1)`
`rArr p = 2r`, (किसी पूर्णांक r के लिए), इसलिए
`p^(2) = 4r^(2) rArr" "2q^(2) = 4r^(2)`
`rArr" "q^(2) = 2r^(2)" "rArr" "2|q^(2)`
`rArr" "2|q" "...(2)`
समीकरण (1) व (2) से हम कह सकते हैं की 2, p व q में उभयनिष्ठ गुणनखण्ड है जोकि एक विरोधाभास है । अत: हमारी कल्पना गलत है । अत: `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है ।