गणितीय आगमन का सिद्धांत प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिये की
`(1)/(3.5)+(1)/(5.7)+(1)/(7.9)+...+(1)/((2n+1)(2n+3))=(n)/(3:(2n+3))`

Explanation

माना
`P(n):1/3.5+1/5.7+1/7.9+..+1/(2n+1)(2n+3)=(n)/(3:(2n+3))`
चरण 1 n=1 के लिए
बायाँ पक्ष `=1/3.5=1/15` दायाँ पक्ष `=(1)/(3.(2xx1+3))=(1)/(3xx5)=1/15`
`rarr` P(1) सत्य है
चरण 2: माना P(k) भी सत्य है तब
`P(k)=1/3.5+1/5.7+1/7.9+..+(1)/(2k+1)(2k+3)=(k)/(3(2k+3))`
चरण 3 माना P(k+1)
`P(k+1)=1/3.5+1/5.7+1/7.9+..+(1)/(2k+1)(2k+3)+(1)/((2k+1)+1)2(k+1)+3`
`=(k)/(3(2k+3))+(1)/((2k+3)(2k+5))`
`=(k+1)/(3(2k+5))=(k+1)/(3(2(k+1))+3)=P(k+1)`
`rarr P(k+1)` सत्य है जबकि `AA n ge K`
अतः गणितीय आगमन के सिद्धांत से कथन सभी `n in N` के लिए सत्य है