The value of `lim_(xrarr1){(x^n-1)/(n(x-1))}^((1)/(x-1))`, is

Options

A. `e^(1//2)`
B. `e^((n)/(x-1))`
C. `e^((n-1)/(2))`
D. `e^((n+1)/(2))`

Answer

C

Explanation

`lim_(xto1){(x^n-1)/(n(x-1))}^((1)/(x-1))`
` =lim_(xto1){(1+x+x^2+.......+x^(n-2)+x^(n-1))/(n)}^((1)/(x-1)`
` =lim_(xto1){1+(x+x^2+x^3+.......+x^(n-1)-n+1)/(n)}^((1)/(x-1)`
` =lim_(xto1){1+(1)/(n){(x-1)+(x^2-1)+.....+(x^(n-1)-1)}}^((1)/(x-1))`
` =e^(lim_(xto1)(1)/(n){((x-1))/(x-1)+((x^2-1))/(x-1)+....+((x^(n-1)-1))/(x-1)}`
` =e^((1)/((n))(1+2+3+...+(n-1)))=e^((1)/(n)xx(n(n-1))/(2))=e^((n-1)/(2))`