Evaluate: `(i) lim_(xrarr0)((tanx-sinx)/sin^(3)x)" "(ii)lim_(xrarr0)((tanx-sinx))/(x^(3))`

Explanation

`(i) lim_(xto0)((tanx-sinx))/(sin^(3)x)=lim_(xto0)((sinx-sinxcosx)/(cosxsin^(3)x))`
`=lim_(xto1)(sinx(1-cosx))/(cosxsin^(3)x)=lim_(xto0)((1-cosx))/(cosxsin^(2)x)`
`=lim_(xto0)((1-cosx))/(cosx(1-cos^(2)x))`
`=lim_(xto0)(1)/(cosx(1+cosx))=1/2" "["putting"x=0].`
(ii) `lim_(xto0)((tanx-sinx))/(x^(3))=lim_(xto0)((sinx-sinxcosx)/(x^(3)cosx))`
`=lim_(xto0)(sinx(1-cosx))/(x^(3)cosx)=lim_(xto0){(sinx)/(x).(2sin^(2)(x//2))/(x^(2)),(1)/(cosx)}`
`=lim_(xto0){(sinx)/(x).(2sin^(2)(x//2))/((x//2)^(2)).1/4/(1)/(cosx)}`
`1/2.lim_(xto0)(sinx)/(x).lim_(xto0){(sin(x//2))/((x//2))}^(2).lim_(xto0)(1)/(cosx)`
`((1)/(2)1xx1xx1^(2)xx1)=1/2.`