दीर्घवृत्त `x^(2)+3y^(2)=6` के केन्द्र से इसकी किसी स्पर्श रेखा पर खींचे गए लम्ब के पाद का बिन्दुपथ है :
(i) `(x^(2)-y^(2))^(2)=6x^(2)+2y^(2)`
(ii) `(x^(2)-y^(2))^(2)=6x^(2)-2y^(2)`
(iii) `(x^(2)+y^(2))^(2)=6x^(2)+2y^(2)`
(iv) `(x^(2)+y^(2))^(2)=6x^(2)-2y^(2).`

Explanation

दीर्घवृत्त का समीकरण है :
`x^(2)+3y^(2)=6`
या `" "(x^(2))/(6)+(y^(2))/(2)=1`
जहाँ `" "a^(2)=6" तथा "b^(2)=2`
स्पर्शी का समीकरण, `(x)/(a)costheta+(y)/(b)sintheta=1` है |
माना बिन्दुपथ पर (h, k) कोई बिन्दु है |
`(h)/(a)costheta+(k)/(b)sintheta=1" "...(i)`
या `" "(k)/(b)sintheta=-(h)/(a)costheta+1`
या `" "k=-(hb)/(a)cot theta+cosectheta`
`:." स्पर्शी रेखा कि प्रवणता, "m_(1)=-(b)/(a)cottheta`
केन्द्र (0, 0) से (h, k) पर खींचे गए लम्ब कि प्रवणता,
`m_(2)=(k-0)/(h-0)=(k)/(h)`
`because" दोनों रेखाएँ परस्पर लम्बवत हैं, तब"`
`m_(1)m_(2)=-1`
`(-(b)/(a)cottheta)((k)/(h))=-1implies(bk)/(ah).(costheta)/(sintheta)=1`
माना `" "(costheta)/(ha)=(sintheta)/(kb)=alpha,` तब
`costheta=ha alpha" तथा "sintheta=kb alpha`
अब समीकरण (i) से,
`(h)/(a)xxhaalpha+(k)/(b)xxkbalpha=1`
`h^(2)alpha+k^(2)alpha=1`
`alpha(h^(2)+k^(2))=1`
`alpha=(1)/(h^(2)+k^(2))`
हम जानते हैं कि
`sin^(2)theta+cos^(2)theta=1`
`implies(alphakb)^(2)+(haalpha)^(2)=1`
`impliesalpha^(2)k^(2)b^(2)+h^(2)a^(2)alpha^(2)=1`
`implies(k^(2)b^(2))/((h^(2)+k^(2))^(2))+(h^(2)a^(2))/((h^(2)+k^(2)))=1`
`a^(2)` तथा `b^(2)` के मान रखने पर,
`implies(2k^(2))/((h^(2)+k^(2))^(2))+(6h^(2))/((h^(2)+k^(2))^(2))=1`
`implies(2k^(2)+6h^(2))/((h^(2)+k^(2))^(2))=1`
`implies6h^(2)+2k^(2)=(h^(2)+k^(2))^(2)`
h तथा k के स्थान पर क्रमश: x तथा y रखने पर,
अत: `" "6x^(2)+2y^(2)=(x^(2)+y^(2))^(2).`
अत: विकल्प.(iii) सही है |