If `f(x)` is integrable over `[1,2],` then `int_1^2f(x)dx` is equal to
(a) `("lim")_(ntooo)1/nsum_(r=1)^nf(r/n)` (b) `("lim")_(ntooo)1/nsum_(r=n+1)^(2n)f(r/n)` (c) `("lim")_(ntooo)1/nsum_(r=1)^nf((r+n)/n)` (d) `("lim")_(ntooo)1/nsum_(r=1)^(2n)f(r/n)`

Options

A. (a) `lim_(nto oo) 1/n sum_(r=1)^(n)f(r/n)`
B. `lim_(nto oo) 1/n sum_(r=n+1)^(2n) f(r/n)`
C. `lim_(nto oo) 1/n sum_(r=1)^(n)f((r+n)/n)`
D. `lim_(nto oo) 1/n sum_(r=1)^(2n)f(r/n)`

Answer

B, C

Explanation

`lim_(nto oo) 1/n sum_(r=n+1)^(2n)f(r/n)=int_(1)^(2) f(x)dx`
`lim_(nto oo) 1/n sum_(r=1)^(n)f((r+n)/n)=int_(0)^(1)f(1+x)dx=int_(1)^(2)dx=int_(1)^(2)f(t)dt=int_(1)^(2)f(x)dx`
`lim_(nto oo) 1/n sum_(r=1)^(n)f(r/n)=int_(0)^(1)f(x)dx`
`lim_(n to oo) 1/n sum_(r=1)^(2n) f(r/n)=int_(0)^(2)f(x)dx`