यदि a,b,c समान्तर श्रेणी में है तो दिखाएँ कि
`|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=0`

Explanation

दिया है a,b,c, A.P. में है माना कि इस A.P. का पदान्तर (c.d.)d है
तो, `b-a=d` तथा `c-b=d`
अब, `L.H.S.=|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=|{:(x+1,x+2,x+a),(1,1,b-a),(1,1,c-b):}|" "[R_(3)toR_(3)-R_(2),R_(2)toR_(2)-R_(1)]`
`=|{:(x+1,x+2,x+a),(1,1,d),(1,1,d):}|=0" [चूँकि " R_(2)" तथा "R_(3)"समान है]"`
दूसरी विधि : चूँकि a,b,c A.P. में है `:.2b=a+c` . . . (1)
अब `L.H.S=|{:(x+1,x+2,x+a),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|=|{:(2(x+2),2(x+3),2(x+b)),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}|" "[R_(1)toR_(1)+R_(3)" तथा " a+c=2b "का प्रयोग करने पर"]`
`=2[{:(x+2,x+3,x+b),(x+2,x+3,x+b),(x+3,x+4,x+c):}]=0" [चूँकि "R_(1)" तथा "R_(2)" समान है]"`