फलन `f(x)=(x-3)log-x` को लेकर साबित करें की खुले अंतराल `(1, 3)` में कम - से - कम एक ऐसा x होगा जो ` x log x = 3 -x ` के संतुष्ट करता है |

Explanation

`f(x)=(x-3)log x " ...(1)"`
दोनों तरफ x के respect में differentiate करने पर,
`f'(x)=(x-3)*1/x+1*log x = (x-3)/3+log x" ...(ii)"`
सपरताह x के धात्मक मानों के लिए `f'(x)` finite होगा अर्थात `f(x)` अवकलनीय ( differentiable ) होगा |
अतः `f(x)` बंद अंतराल `[1,3]` में अवकलनीय होगा और इसलिए `f'(x)`
(a) बंद अंतराल `[1,3]` में संतत ( continuous ) होगा तथा
(d) खुले अंतरा `(1, 3)` में अवकलनीय ( differentiable ) होगा |
(c) साथ ही (i) से `f(1)=(1-3)log 1 = -2.0`
तथा `f(3)=(3-3)log 3 =0" ":." "f(1)=f(3)`
अतः `f(x)`, Rolle's theorem के सभी शर्तों को संतुष्ट करता है
`:." "` खुले अंतराल `(1,3)` में काम-से-कम एक ऐसा x मिलेगा ताकि `f'(x)=0`
`:." "`(ii) से, `(x-3)/x+log x=0,` या `log x = ( x-3)/x=(3-x)/x`
`:." "x log = x 3 - x`.