निम्नलिखित फलां के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित करें |
`f(x)=(x-1)(x-2)^2("in")[1,2]` में

Explanation

दिया हुआ गलन है
`f(x)=(x-1)(x-2)^2, x "in" [1.2]" ...(2)"`
स्पष्तः `f'(x),` एक अवकलनीय ( differentiable ) तथा संतत ( continuous ) फलन है |
`:." "f'(x)` अंतराल `[1,2]` में संतत है|
ttha `f(x)` अंतराल `(1,2)` में सतत है |
साथ ही `f'(1)=0=f(2)`
आह फलन `f'(x)` के लिए अंतराल `[1,2]` में रोले के प्रमेय के सभी शर्त संतुष्ट है |
`rArr c in ( 1,2 )` का अस्तित्वात है ताकि `f'(x)=0`
अब (1) से, `f'(x)` का अस्तित्तव है ताकि `f'(c)=0`
`=(x-2)(x-2+2x-2)`
`=(x-2)(3x-4)`
`:." "f'(c)=0 hArr c=2` या `c=4/3`.
लेकिन `c in (1,2)`, इसलिए `c=4/3""in (1,2)` मिलता है ताकि `f'(c)=0`
इस प्रकार रोले का प्रमेय सत्यापित हो गया |