रोले के सिद्धांत की जांच फलन `f(x)=2x^3+x^2-4x-2` के लिए करें जय `-1/2lex le sqrt2`.

Explanation

प्रशन से, `f(x)=2x^3+x^3+x^2-4x-2" ...(1)"`
`:." "f'(x)=6x^2+2x-4" ...(2)"`
स्पर्शतः `f'(x)`x के प्रत्येक मान के लिए परिभाषित है अर्थात `f(x)` प्रत्येक x के लिए अविकलनीय ( differentiable ) है |
अतः (i) `f'(x)` सभी x पर संतत ( contiuous ) भी होगा और इसलिए बंद अंतराल `[-1/2*sqrt2]` में भी continuous होगा |
(ii) `f'(x)` खुले अंतराल `(-1/2, sqrt2)` में भी continuous होगा |
(ii) `f'(x)` खुले अंतराल `(1/2, sqrt2)` में भी अवकलनीय ( differentiable ) होगा |
(iii) साथ ही (1) से, `f(-1/2)=2(-1/8)+1/3-4(-1/2)-2=0`
तथा`f(sqrt2)=" "sqrt2+2-4sqrt2-2=0`
`:." "f(-1/2)=f(sqrt2)`
अतः रोले के साध्य की सभी शर्ते सतुष्ट है |
अतः `f'(c)=0` तो
`rArr" "3c^2+c-2=0" "rArr3c^2+3c-2c-2=0`
`rArr" "(c+1)(3c-2)=0" "hArr c=-1,2/3`
लेकिन `-1/2 le cle sqrt5:" ":. c=2/3`
इस प्रकार हमें कम-से-कम ऐसा `c=(2/3)` मिला, जहां `-1/2le c le sqrt2` तांकि `f'(c)=0`
अतः रोले का सिद्धांत सत्यापित हो गया |