फलन `f(x)=x(x+3)e^(-x/2)` के लिए रोले के साड़ी की सत्यता की जांच करें |

Explanation

फलन `f(x)=x(x+3)_(e)^(-x/2)," ...(i)"`
यहां किस अंतराल में रूले के साध्य की सत्यता की जांच करनी है यह नहीं दिया हुआ है अतः हम `f'(x)=0` करते है |
जब `f(x)=0` तो `x(x+3)e^(-x/2)=0` लेकिन x के किसी मान के लिए `e^(-x/2)ne 0`.
`:." "x(x+3)=0" या, "x=0, -3`
अतः सम अंतराल `[-3, 0]` में रोले के साड़ी की सत्यता की जान करेंगे |
(i) से, `f'(x)=[1(x+3)+x.1]e^(-x/2)+x(x+3)e^(-x/2)(-1/2)`
`=e^(-x/2)[2x+3-1/2x(x+3)]`
`=e/2^(-x/2)(x-x^2+6)" ...(ii)"`
(ii) से स्पष्ट है की x के सभी मानों के लिए `f'(x)` परिभाषित है अर्थात `f'(x)` अवकलनीय ( differentiable ) होगा |
अतः (i)`f(x)` सभी x पर संतत सभी होगा और इसलिए बांध अंतराल `[-3,0]` में भी संतत ( continuous ) होगा |
अतः (i)`f(x)` सभी x पर संतत भी होगा और इसलिए बंद अंतराल `[-3, 0]` में भी संतत ( continuous ) होगा |
(ii) `f(x)` खुले अंतराल `(-3, 0)` में भी अवकलनीय ( differentiable ) होगा|
(iii) साथ ही `f(-3)=f(0)=0`.
अतः रोले के साध्य की सभी शर्ते संतुष्ट है |
अब `f'(c)=0" "rArr" "e^(-c/2)/2(-c^2+c+6)=0`
`rArr" "-c^2 + c+ 6 =0" "[because e^(-c/2) ne 0]`
`rArr" "c^2-c-6=0" "rArr(c-3)(c+2)=0`
`:." "c=-2, 3" "` लेकिन `-3lecle0" ":." "c=-2`
इस प्रकार हमे एक-से-एक एक ऐसा `c(=-2)` मिला ताकि `f'(c)=0`
अतः रोले की सिद्धांत सत्यापित होगा | ?