क्या फलन `f(x)=|x|` के लिए अंतराल `[-1, 1]` में रोले के सदी के सभी शर्ते संतोष है?

Explanation

प्रशन से `f(x)=|x|" ...(1)"`
`f(x)=|x|,0` के छोड़कर अन्य सभी x लिए अवकलनीय हिअ अतः `f(x),0` को छोड़कर अन्त्य सभी x के लिए निश्चित रूप से संतत होगा |
चूँकि 0, बंद अंतराल `[-1, 1]` में है अतः `x=0` pr `f(x)` के संतत | ( continuity ) की जांच करनी होगी |
जब `xle0` तो `|x|=-x`
`:." "underset(xto0-0)("lim")f(x)=underset(xto0-0)("lim")|x|=underset(xto0-0)("lim")(x)=0`
जब `xlt0 ` तो `|x|=x`
`:." "underset(xto0+0)("lim")f(x)=underset(xto0+0)("lim")|x|=underset(xto0+0)("lim")(x)=0`
तथा `f'(0)=|0|=0`
इस प्रकार `:." "underset(xto0-0)("lim")f(x)=underset(xto0+0)("lim")f(x)=f(0)`
इसलिए `f(x), x=0` बंद अंतराल `[-1, 1]` में संतत ( continuous ) है |
(ii) `f'(x), x=0` पर अवलालनीय नहीं होने के कारन खुले अंतराल `[-1, 1]` में अवकलनीय ( differentiable ) नहीं है |
(iii) लेकिन `f(-1)=|-1|=1` तथा `f(1)=|1|=1`
`:." "f(-1)=f(1)`
अतः रोले के साध्य की पहली और तीसरी शर्ते संतोष है लेकिन दूसरी सहरत संतुष्ट नहीं है |