फलन `(f(x)=x(x-1)(x-2)` के लिए अंतराल `[0, 1/2]` में लेंगरानेजे के माध्यमान प्रमेय की सत्या की जांच करें |

Explanation

प्रशन से, `f(x)=x(x-1)(x-2)=x(x^2-3x+2)" ...(1)"`
`:." "f'(x)=1*(x^2-3x+2)+x(2x-3)=3x^2-6x+2" ...(ii)"`
स्पश्ट x के सभी मानों के लिए `f'(x)` का अस्तित्व है अतः `f(x),x ` के सभी मानों के लिए अवकलनीय ( differentiable ) है |
अतः (i) `f(x),x` के सभी मानों एक लिए संतत ( continuous ) भी होगा और इसलिए बंद अंटाल `[0, 1/2]` में भी संतत होगा |
(i) `f(x)` खुले अंतराल `(0, 1/2)` में भी अवकलनीय ( differentiable ) होगा |
अतः लग्रोंजे मध्यमान प्रमेय की सभी शर्ते संतुष्ट है |
(1) से, `f(0)=0` तथा `f(1/2)=1/2(1/2""-1)(1/2""-2)=3/8`
अतः `f'(c)=(f(1/2)-f(0))/(1/2-0)" "hArr" "3c^2-6c+2=(3/8-0)/(1/2)=3/4`
`hArr" "12c^@-24c+8=3" "hArr" "12c^2-24c+5=0`
`:." "c=(24+-sqrt(586-240))/24=(24+-sqrt(336))/24=(24+-4sqrt(21))/24=1+-sqrt(21)6`
अतः `c=1+ (sqrt(21))/6, 1-sqrt(21)/6`
लेकिन `0lecle""1/2" ":." "c=1-sqrt(21)/6`
इस प्रकार कम-से-कम एक ऐसा `c(=1-sqrt(21)/6)` है ताकि
`f'(c)=(f(1/2)-f(0))/(1/2-0)`
अतः लेगराजे का मद्य मान प्रमेय सत्यापित हो गया |