क्या लेगराज के माध्य मान प्रमेय शर्ते फलन `f(x)=sqrt(x-1)` के लिए अंतराल `1le x le 3` में संतुष्ट है ? यदि हाँ तो मध्यमान प्रमेय का c निकाले |

Explanation

दिया है, `f(x)=sqrt(x-1)" ...(1)"` ltrbgt `:." "f'(x)=1/(2sqrt(x-1))" ...(2)"`
स्पष्तः `f'(x)`, 1 को घोड़कर x के सभी मानों के लिए परिभाषित है | अर्थात `f(x)` 1 को छोड़कर x के सभी मानों के लिए अवकलनीय ( differentiable ) है और इसलिए `x=1` को छोड़कर सभी x पर `f'(x)` संतत भी होगा |
`x=1` पर `f(x)` की संतता ( continuity ) की जांच ---
`f(1)=sqrt(1-0)=0`
R.H. limit : इस स्तिथि में `xgt1 :. f (x) = sqrt(x-1)`
अब `underset(xto1+0)("lim")f(x)=underset(xto1+0)("lim")sqrt(x-1)=sqrt(1-1)=0`
`underset(xto1+0)("lim")f(x)` निकालने की आवशयकता नहीं है क्योँकि `f(x)=sqrt(x-1), x lt 1` के लिए परिभाषित नहीं है |
`:." "underset(xto1+0)^("lim")f(x)=f(1)`
अतः `f(x),x=1` पर संतत ( continuous ) है |
इस प्रकार,
(i) `f(x)` बदल अंतराल `[1,3]` में संतत है तत्य (ii) `f(x)`, खुले अंतराल `(1,3)` में अवकलनीय ( differentiable ) है |
अतः लेगराजे मध्यमान प्रमेय की सभी संतुष्ट है |
अब `f'(c)=(f(c)-f(a))/(b-a)`
`rArr" "1/(2sqrt(c-1))=(f(3)-f(1))/(3-1)=(sqrt2-0)/2=1/sqrt2`
`rArr" "1=sqrt2 sqrt(c-1)` या, `1=2(c-1)`
या, `c-1=1/2rArr c=3/2""in (1,3)`.