रोले के मध्यमान प्रमेय से साबित करें की `y=x^2-4x+3` के आलेख में बिंदु `(1,0)` या `(3,0)` के बीचएक बिंदु है जहां पर स्पर्श रेखा x अक्ष के समांतर है | फिर वह बिंदु भी निकालें |

Explanation

प्रशन से, `f(x)=x^2-4x+3" ...(1)"`
`:." "f'(x)=2x-4" ...(2)"`
स्पष्तः `f'(x)`, के प्रत्येक मन के लिए परिभाषित होएं के कारण `f(x)` सभी मानों के लिए यह संतत ( continuous ) भी होगा |
पुनः `f(1)=0, f(3)=0" ":." "f(1)=f(3)`
अतः रोले के साध्य के ज्यामितीय अर्थ से `y=f(x)` के आलेख पर बिंदु `(1,0)` तथा `(3,0)` के बीच कम-से-कम एक ऐसा बिंदु `(c, f(c))` मिलेगा जहां स्पर्श रेखा x अक्ष एक समांतर होगी और इस बिंदु C का x नियामक `f'(c)=0` अर्थात `2c-4=0` से मिलेगा
`:." "c=2`
`:." "`(1)से, `y=f(c)=f(2)=2^2-4^2-*2+3-1`
अतः अभीष्ट बिंदु `(2, -1)` है |