यदि `A(x_(1),y_(1))` और `B(x_2, y_2)` वक्र `y=ax^2+bx+c` पर दो बिंदुये हों तो लैग्रंजे के मध्यमान प्रमेय से साबित करें A और B के बीच कम-से-कम एक ऐसा बिंदु `C(x_3, y_3)` होगा जहां पर स्पर्श रेखा AB के समांतर होगी | साथ ही साबित करें, की
`x_3=(x_1+x_2)/2`

Explanation

प्रशन से, `y=f(x)=ax^2+bx+c" ...(1)"`
`:." "f'(x)=2ax+b" ...(2)"`
स्पष्तः `f(x)` प्रत्येक x पर संतत ( continuous ) तथा अवकलनीय ( differentiable ) है अतः `f(x)` Lagrange's Mean value theorem के सभी शर्तो को संतुष्ट करता है | इसलिए एक ऐसा बिंदु `C(x_(3),y_(3))` मिलेगा जहां स्पर्श रेखा चापकरण ( chord ) AB के समांतर होगी तथा बिंदु `(x_(3),y_(3))` मिलेगा जहां स्पर्श रेखा चपकार्न (chord) AB के समांतर होगी तथा इस बिन्दुओ `C(x_(3),y_(3))` का x नियामक
`f'(x_3)=(f(x_(2))-f(x_(1)))/(x_(2)-x_(1))` से मिलेगा |
`:." "2ax_(3)+b=(ax_(2)^(2)+bx_(2)+c-ax_(1)^2-bx_(1)-c)/(x_(1)-x_(2))`
या `2ax_(3)+b=(a(x_2^2-x_1^2)+b(x_2-x_1))/(x_2-x_1)`
या, `2ax_3+=((x_2+x_1)[a(x_2+x_1)+b])/(x_2-x_1)`
या, `2ax_3+b=a(x_2+x_1)+b`
`:." "x_23=(x_1+x_2)/2`