रोले के साध्य का प्रयोग कद साबीत करें की समीकरण `ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0` के किन्ही दो भिन्न वास्तविक मूलों के बीच समीकरण `4ax^3+3bx^2+2cx+d=0`
का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होगा |

Explanation

नाना की `f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e" ...(1)"`
तो `f'*(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d" ...(2)"`
स्पष्तः `f'*(x)` x के सभी मानों के लिए परिभाषित है अर्थात `f(x)` के सभी मानों के लिए अवकलनीय ( differentiable ) है और इसलिए , `f'(x)`, x के सभी मानों के लिए संतत ( contnuous ) भी है|
माना की `alpha` और `beta` समीकरण `f(x)=0` के दो भिन्न वास्तविक मूल है तथा `alpha lt beta` तो `alpha` और `beta` समीकरण `f(x)=0` को संतुष्ट करेंगे
`:." "f(alpha)=f(beta)=0`
अतः `f(x)` antral `[ alpha, beta ]` में Rolle's theorem के सभी शर्तो को संतुष्ट करता है | इसलिए कम-से-कम एक रेसा `gamma` मिलेगा जहां `alpha le gamma beta` ताकि `f'(x)=0`
`:." "4agamma^3+3bgamma^2+2c gamma + d=0`
अतः `gamma` समीकरण `4ax^3+3bx^2+2cx+d=0` को सतुष्ट करता है और इसलिए यह इसका एक मूल है |
अतः समीकरण `ax^4+bx^3+dx+e=0` के किन्ही दो भिन्न वास्तविक मूलों के बीच समीकरण `4ax^3+3bx^2+2cx+d=0` का कम-से-कम एक वास्तविक मूल होगा |