माध्यम प्रमेय का प्रयोग क्र साबित करें की `|cos a - cos b| le |a-b|`

Explanation

Case I जब `a=b, | cos a - cos b| = 0 = |a-b|" ...(1)"`
Case II. जब `a ne b` माना की `a lt b`
तो `f'(x)=-sin x " ...(2)"`
तो `f'(x)=-sin x " ...(3)"`
स्पष्तः `f(x)`, x के सभी मानों के लिए संतत तथा अवकलनीय है |
अतः अंतराल `[a,b]` में Lagrange's mean value therem से कम-से-कम ऐसा एक c मिलेगा, जहां `a lt c lt b` ताकि
`(f(b)-f(a))/(b-a)=f'(c)` या `(cos b- cos a)/(b-a)=-sin c`
या, `(cos a-cos b)/(a-b)=- sin c`
`:." "|(cos a - cos b)/(a-b)|=|- sin c|`
या, `| cos a-cos b|/|a=-b|=|sin c|le 1 " "[ because | sin theta | le 1|]`
या, `| cos a - cosb | le | a - b | " ...(4)"`
अतः (1) तथा (4) से, a और b के सभी मानों के लिए
`|cos a - cos b| le | a-b|`.