नमक का एक गोलाकार ढेला पानी में इस प्रकार घुल रहा है कि किसी समय उसके आयतन के घटने की दर उसकी सतह के समानुपाती है । साबित करे की उसकी त्रिज्या एक स्थिर दर से घट रही है ।

Explanation

यहाँ आयतन के घटने की दर दी हुई है तथा त्रिज्या के घटने की दर निकालनी है । माना कि t समय पर गोलों की त्रिज्या x है तथा आयतन y है ।
प्रश्न से, `(dy)/(dt) prop` सतह का क्षेत्रफल या `(dy)/(dt) prop 4pi x^2`
`:.` `(dy)/(dt)=k.4pi x^2`, जहाँ k अचर राशि है । ...(1)
चूँकि t बढ़ने पर आयतन y घट रहा है ।
`:.` `(dy)/(dt)` ऋणात्मक `( -ve)` होगा |
अत: k एक -ve constant है ।
हमें साबित करना है कि `(dy)/(dt)=`constant
अब `y=` गोले का आयतन `=(4)/(3)pi x^3` ...(2)
दोनों तरफ t के respect में अवकलित (differentiate) करने पर,
`(dy)/(dt)=(4)/(3)3pix^2=(dx)/(dt)=4pix^2 (dx)/(dt)` ...(2)
या, `k.4pix^2=4pix^2(dx)/(dt)` [(1) से `(dy)/(dt)` का मान रखने पर ]
`:.` `(dx)/(dt)=k` (constant)
`:.` k एक -ve contant है अत: गोले की त्रिज्या -k कि दर से घट रही है ।