एक आयत की लम्बाई `x, 5 cm //` min की दर से घाट रही है और चौड़ाई y,4 cm प्रति मिनट की दर से बढ़ रही है । जब x= 8 cm और y = 6cm हैं तब आयत के (i) परिमाप (ii) क्षेत्रफल की दर ज्ञात कीजिए ।

Explanation

माना कि t समय पर आयत कि परिमिति P तथा क्षेत्रफल A है । माना कि t समय पर आयत की लम्बाई x तथा चौड़ाई y है ।
दिया है , `(dx)/(dt) = -5 ` cm` //` minute [ ऋण चिन्ह बतलाता है कि x घाट रहा है । ]
तथा `(dy)/(dt) = 4 ` cm `//` minute [धन चिन्ह बतलाता है कि y बढ़ रहा है ।]
अब `P = 2x + 2y ` ...(1)
`:. (dy)/(dt) = 2 (dx)/( dt) + 2 (dy)/(dt) = 2 ( -5) + 2 xx 4 `
` = - 2 `c m `//` minute
अतः परिमिति 2 cm ` //` minute की दर से घाट रही है
(ii) पुनः A = आयत का क्षेत्रफल = xy ....(2)
दोनों तरफ t के सापेक्ष अवकलित (differentiate ) करने पर हमें मिलता है ,
`(dA)/(dt) = x (dy)/(dt) + y (dx)/(dt)`
`= 4x-5y ` `[ :' (dx)/(dt) = -5 ,( dy)/(dt) = 4 ]`
जब `x= cm ` तथा `y = 6 cm ` तो
`(dA)/(dt) = 4 xx 8 - 5 xx 6 = 2 cm^(2) // `minute
अतः जब `x= 8 cm , y = 6 cm` तो आयत की क्षेत्रफल `2cm^(2) //` minute की दर से बाद रहा है ।