एक पाइप से रेत `12cm^(3) //s ` की दर से गिर रहा है । गिरती रेत जमीन पर एक ऐसा शंकु बनाती है जिसकी ऊँचाई सदैव आधार की त्रिज्या का छठा भाग है। रेत से बने शंकु की ऊँचाई किस दर से बढ़ रही है जबकि ऊँचाई 4 cm है ?

Explanation

माना कि किसी समय t पर रेत शंकु की त्रिज्या r , ऊँचाई h तथा आयतन V है ।
तो, `V = (1)/(3) pi r^(2) h ` ...(1)
दिया है, `h = ( r )/( 6) ` या , `r = 6 h `
तथा `( dV )/( dt) = 1 2 cm^(3) //sec `
(1) से, `V = (1)/(3) pi ( 36h^(2)) h =12pi h^(3)`
`:. (dV)/( dt) = 36pi h^(2) ( dh )/(dt)`
`implies 12= 36 pi h^(2) ( dh)/(dt) implies ( dh)/(dt) = (1)/( 3pi h^(2)) ` ....(2)
`:.` जब `h = 4cm , (dh)/( dt) = (1)/(3pi (4)^(2)) = ( 1)/( 48pi ) cm //sec`.
अतः जब रेत शंकु की ऊँचाई 4cm है, तब इसकी ऊँचाई `(1)/( 48 pi ) cm //sec ` की दर से बाद रही है ।