पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लम्बे वृतीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्ध शीर्ष कोण `tan^(-1) (0.5)` है । इसमें `5 m^(3) // `min की दर से पानी भरा जाता है । पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई 10 m है ।

Explanation

माना कि किसी समय t पर जल का स्तर DE है ।
माना कि `OL = h , /_COB = theta , LE = r `
दिया है `theta = tan^(-1) ( 0.5) `
`:. tan theta = 0.5 = (1)/(2)`
माना कि t समय पर पानी का आयतन V है ।
हमें `( dh )/( dt)` निकलना है जब `h = 10 m `.
दिया है, `(dV)/( dt) = 5 ` cubic metre per minute.
`Delta OLE ` से, `tan theta = ( LE )/( OL ) = ( r )/( h )`
`implies (1)/(2) = ( r )/( h ) implies r = ( h )/( 2)`
अब V = शंकु ODE का आयतन
`(1)/(3) pir^(2) h = (1)/(3) pi ((h )/( 2))^(2) . h= ( pi )/( 12) h^(3)` ...(2)
दोनों तरफ t के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमें मिलता है,
`( d V )/( dt ) = ( pi )/( 12) 3h^(2) . ( dh )/( dt)`
`:. 5 = ( 22)/( 7 xx 4 ) . h ^(2) . ( dh )/( dt) ` `[ :' pi = ( 22)/ ( 7 ) ]`
`implies ( dh)/( dt) = ( 70)/( 11h^(2)) `
जब h = 10m , `( dh)/( dt) = ( 70)/( 11 xx 100) = ( 7 )/( 110) m // `minute
अतः जब पानी का स्तर 10m है तब पानी के स्तर के उठने की दर `(7)/(110) m //` min है ।