अन्तराल ज्ञात कीजिये जिसमे फलन `f` जो निम्न प्रकार प्रदत है।
`f(x)=(4sinx-2x-xcosx)+(2+cosx)`

`(i)` वर्धमान है
`(ii)` हासमान है

Explanation

दिया है, `f(x)=(4sinx-2x-xcosx)/(2+cosx)`……`(1)`
`f(x)=(4sinx-x(2+cosx))/(2+cosx)=(4sinx)/(2+cosx)-x`…………..`(2)`
`:.f'(x)=(4[(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)])/((2+cosx)^(2))-1`
`=(4(2cosx+1))/((2+cosx)^(2))-1=(8cosx+4-(2+cosx)^(2))/((2+cosx)^(2))`
`=(8cosx+4-4-4cosx-cos^(2)x)/((2+cosx)^(2))`
`=(4cosx-cos^(2)x)/((2+cosx)^(2))=((4-cosx)cosx)/((2+cosx)^(2))`......`(3)`
चूकि `4-cosx gt 0` तथा `(2+cosx)^(2) gt 0` , इसलिए `f'(x)` कि चिह योजना वही होगा जो `cosx` का ।
चूकि `cosx` का आवर्तकाल `2pi` है इसलिए हम केवल अंतराल `[0,2pi]` पर विचार करेंगे ।
`f'(x)` अर्थात `cosx` का चिह योजना

`f'(x)` के चिह योजना से स्पष्ट है कि
`(i) (0,(pi)` तथा `((3pi)/(2),2pi)` में , `f'(x) gt 0`
`:.f`, `(0,(pi)/(2))` तथा `((3pi)/(2),2pi)` में और `[0,(pi)/(2)]` तथा `[(3pi)/(2),2pi]` में भी एक वर्धमान फलन है क्योकि कि `f` , `x=0`, `(pi)/(2)`, `(3pi)/(2)`, `2pi` पर संतत है।
`(ii) ((pi)/(2),(3pi)` में `f'(x) lt 0` इसलिए `((pi)/(2),(3pi)/(2))` तथा `[(pi)/(2),(3pi)/(2)]` में `f` हासमान फलन है।