साबित करे कि `(x)/(1+x) lt log (1+x)ltx`, `xgt 0` के लिए

Explanation

साबित करना है कि `(x)/(1+x) lt log (1+x)ltx`, `xgt 0` के लिए
माना कि `f(x)=(x)/(1+x)-log(1+x)`……`(1)`
तो `f'(x)=((1+x)*1-x*1)/((1+x)^(2))-(1)/(1+x)=(1)/((1+x)^(2))-(1)/(1+x)`
`=(1-1-x)/((1+x^(2))=-(x)/((1+x^(2)))`
`(0,oo)` में `f'(x)=-(x)/((1+x^(2)))lt0` `:.f`, `(0,oo)` में हासमान है ।
साथ ही`f(x)`, `x=0` पर संतत है।
अतः `f`, `[0,oo)` में भी हासमान फलन है।
`:.xgt0impliesf(x)ltf(0)`
`implies(x)/(1+x)-log(1+x)lt0implies(x)/(1+x)ltlog(1+x)`.......`(2)`
साबित करना है कि : `log(1+x)ltx`, `x gt0` के लिए
माना कि `g(x)=log(1+x)-x` ..........`(3)`
तो `g'(x)=(1)/(1+x)-1=-(x)/(1+x)lt0`, `(0,oo)` में
`:.g` अंतराल `[0,oo]` में , हासमान फलन है।
साथ ही `g(x)`, `x=0` पर संतत है,
`:.g(x)` अंतराल `[0,oo)` में भी हासमान है।
`:.x gt 0 impliesg(x) lt g(0)`
`implieslog(1+x)-xlt 0`
`implieslog(1+x)ltx` ..........`(4)`
`(2)` तथा `(4)` से हमे मिलता है, `(x)/(1+x)llog(1+x)ltx`सभी `xgt0` के लिए |