सिद्ध कीजिये कि वक्र `x^(3)-3xy^(2)=a` तथा `3x^(2)y-y^(3)=b` एक-दूसरे को समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं |

Explanation

दिए गए वक्रों के संकरण है,
`x^3-3xy^2=a" ...(1)"`
और ` 3x^2-y-y^3=b" ...(2)"`
(1) के दोनों पक्षों के x के सापेक्ष अवकलित ( differentiate ) करने पर हमे मिलता है,
`3x^2-3(1*y&^2+x*2y(dy))/(dx)=0`
या `y^2-y^2-2xy(dy)/(dx)=0" ":." "(dy)/(dx)=(x^2-y^2)/(2xy)" ...(3)"`
(2) से हमे मिलता है, `3(2xy+x^2(dy)/(dx))-3y^2(dy)/(dx)=0`
या `(x^2-y^2)(dy)/(dx)+2xy=0," ":." "(dy)/(dx)=(2xy)/(d^2-y^2)" ...(4)"`
[ यहां दोनों वक्राको से प्राप्त `(dy)/(dx)` के मानों का गुणनफल -1 है अतः वक्राको के प्रतिच्छेद बिंदुओं के नियामक निकालने की आवशयकता नहीं है|]
माना की दोनों वक्र बिंदु `(alpha, beta)` प्रतिच्छेद करते है |
(3) से वक्र (1) के बिंदु `(alpha, beta)` पर स्पर्श रेखा की ढल ( slope ) अथात
`m_(1)=(alpha^2beta^2)/(2alphabeta)`
(4) से वक्र (2) के बिंदु `(alpha, beta)` पर स्पर्श रेखा की ढाल अर्थात
`m_(2)=-(2alpha beta)/(alpha^2-beta^2)" ":." "m_(1)m_(2)=(alpha^2-beta^2)/(2alphabeta)*[-(2alpha beta)/(alpha^2-beta^2)]=-1`
अतः दोनों वक्र एक - दूसरे को समकोण पर काटते है |