वक्र `y^2=4ax` तथा `x^2=4by` के प्रतिच्छेद कोण ज्ञात करें |

Explanation

दिए हुए वक्रों के समीकरण, `y^2=4ax" ...(1)"`
तथा `x^2=4by" ...(2)"`
(1) से, `2y(dy)/(dx)=4a " ":." "(dy)/(dx)=(2a)/y" ...(3)"`
(2) से, `2x=4b""(dy)/(dx)" ":." "(dy)/(dx)=x/(2b)" ..(4)"`
(2) से, `y=x^2/(4b),y` का यह मान (1) में रखने पर हमे मिलता है,
`x^4/(16b^2)=4ax` या `x(x^3-64ab^2)=0 :. x=0, 4a^(1/3)b^(2/3)`
(2) से, `y=x^2/(4b) :.`जब `x=0,y=0`
तथा जब `x=4a^(1/3)b^(2/3),y=(16a^(2/3)b^(4/3))/(4b)=4a^(2/3)b^(1/3)`
`:." "` वक्र (1) तथा (2) के कटान बिंदु है, `(0,0)` तथा `(4a^(1/3),b^(2/3), 4a^(2/3)b^(1/3))`
`(0,0)` पर वक्रों के प्रतिच्छेद कोण
(3) से वक्र (1) की ढल ( slope ) `(0,0)` पर `=(2a)/0`( अपरिभाषित )
(4) से वक्र (2) की ढाल `(0,0)` पर `=0/(2b)=0=tan0^(@)`
`:." "(0,0)` पर वक्रों का बिच का कोण `=|90^(@)-0^(@)|=90^(@)`
`P(4a^(1/3)b^(2/3), 4a^(2/3)b^(1/3))` पर वक्रों का प्राइटछेड कोण
(3) से, `(dy)/(dx)=(2a)/(4a^(2/3)b^(1/3))=a^(1/3)/(2b^(1/3))=m_(2)` ( माना )
(4) से, `(dy)/(dx)=(4a^(1/3)b^(2/3))/(2b)=(2a^(1/3))/(b^(1/3))=m_(1)` ( माना )
यदि P पर दोनों वर्करों के बिच का कोण न्यूनकोण `theta` है, तो `tan theta=|(m_(1)-m_(2))/(1+m_(1)m_(2))|=|((2a^(1/3))/b^(1/3)-a^(1/3)/(ab^(1/3)))/(1+(2a^(1/2))/b^(1/3)*a^(1/3)/(ab^(1/3)))|=(3a^(1/3)b^(1/3))/(2(b^(2/3)+a^(2/3)))`
`:." "theta=tan^(-1)|(3a^(1/3)b^(1/3))/(2(b^(2/3)+a^(2/3)))|`