दीर्घ वृत्त `(x^(2))/(a^(2)) + (y^(2))/(b^(2)) = 1` एवं कोटियों `x = 0` और `x = ae` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए , जहाँ `b^(2) = a^(2) (1 - e^(2))` एवं `0 lt e lt 1` है ।

Explanation

दिया गया दीर्घ वृत्त है, `(x^(2))/(a^(2)) + (y^(2))/(b^(2)) = 1`
दी गई रेखा है, x = ae
(1) से , `(y^(2))/(b^(2) = 1 - (x^(2))/(a^(2))`
`implies y = +- (b)/(a) sqrt(a^(2) - x^(2))`

चूँकि में अभीष्ट क्षेत्रफल को छायांकित किया गया है।
चूँकि छायांकित भाग x - अक्ष के सपक्षे सममित है,
`:.` अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (दिए गए दीर्घ वृत्त, x -अक्ष तथा सरल रेखाओं x = 0 और x = ae से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल )
` = 2 int_(0)^(ae) y dx = 2 int_(0)^(ae) (b)/(a) sqrt(a^(2) - x^(2)) dx` [`:'` प्रथम पद में `y ge 0`]
`= 2 (b)/(a) [(xsqrt(a^(2) - x^(2)))/(2) + (a^(2))/(2) "sin"^(-1) (x)/(a)]_(0)^(ae)`
`= (b)/(a) [(ae sqrt(a^(2) - a^(2) e^(2)) + a^(2) "sin"^(-1) e) - (0 + (a^(2))/(2) "sin"^(-1) 0)]`
`ab (3 sqrt(a - e^(2)) + "sin"^(-1) e)` वर्ग इकाई