प्रथम चतुर्थाश में वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16`, रेखा `y = x` एवं x - अक्ष से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

Explanation

दिया गया वृत्त है, `x^(2) + y^(2) = 16`
दी गई रेखा है, y = x
(2) से (1) में y = x रखने पर हमें मिलता है,
`2x^(2) = 16 implies x^(2) = 8 implie x = 2 sqrt(2)` [`:'` प्रथम चतुर्थाश में x धनात्मक होता है।]
इस प्रकार प्रथम चतुर्थाश में (1 ) और (2 ) का प्रतिच्छेद बिंदु `A (2sqrt(2), 2 sqrt(2))` है।
x-अक्ष पर AP लम्ब खींचा ।
`:.`अभीष्ट क्षेत्रफल = (क्षेत्र OPA का क्षेत्रफल ) + क्षेत्र (PBAP का क्षेत्रफल )
`= int_(0)^(2) xdx + int_(2sqrt(2))^(4) sqrt(16 - x^(2)) dx`
`= [(x^(2))/(2)]_(0)^(2sqrt(2)) + [(x sqrt(16 - x^(2)))/(2) + (16)/(2) "sin"^(-1) (x)/(4)]_(2sqrt(2))^(4)`
`= (1)/(2) [(2sqrt(2))^(2) - 0] + [(0 + 8 "sin"^(-1) 1) - (4 + 8 "sin"^(-1) (1)/(sqrt(2)))]`
`= [4 + (8 xx (pi)/(2)) - 4- (8 xx (pi)/(4))] = 2 pi` वर्ग इकाई