`y = x^(2) + 1, y = x, x = 0` तथा `y = 2` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Explanation

दिए गए वक्रों के समीकरण है: `y = x^(2) + 1` या, `x^(2) = y - 1`
तथा y = x
वक्र (1 ) एक परवलय है जिसका अक्ष x = 0 तथा शीर्ष (0 , 1 ) है।
अब `Delta OBD` रेखा y = x, y-अक्ष तथा भुजाओं (abscissae ) y = 0 तथा y = 2 से घिरा क्षेत्र है।
`:. Delta OBD` का क्षेत्रफल `= int_(0)^(2) xdy = int_(0)^(2) ydy`
`[:' (2) से x = y]`
`= [(y^(2))/(2)]_(0)^(2) = (4)/(2) - 0 = 2` वर्ग इकाई
पुनः क्षेत्र ABCA वक्र `y = x^(2) + 1`, y-अक्ष y = 1 तथा y = 2 से घिरा है।
(1) से `x^(2) + 1 = y implies x = +- sqrt(y - 1)`.
परवलय के भाग एक के लिए `x gt 0, :. x = sqrt(y - 1)`
अब क्षेत्र ABCA का क्षेत्रफल `= int_(1)^(2) xdy = int_(1)^(2) sqrt(y - 1) dy = [((y - 1)^(3//2))/(3//2)]_(1)^(2)`
`= (2)/(3) [1^(3//2) - 0] = (2)/(3)` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्र OACEO का क्षेत्रफल `= 2 - (2)/(3) = (4)/(3)` वर्ग इकाई
Second method
अभीष्ट क्षेत्रफल = क्षेत्र OACEO का क्षेत्रफल + क्षेत्र ECDF कस क्षेत्रफल -`Delta ODF` का क्षेत्रतल
`= int_(0)^(1) (x^(2) + 1) dx + int_(0)^(1) 2dx - int_(0)^(2) xdx`
`= [(x^(3))/(3) + x]_(0)^(1) + 2 [x]_(1)^(2) - [(x^(2))/(2)]_(0)^(2) = ((1)/(3) + 1 + 2 - 2) = (4)/(3)` वर्ग इकाई