परवलय `y^(2) = 4ax` एवं रेखा `y = mx` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिए गए परवलय का समीकरण है, `y^(2) = 4ax`
तथा दी गई रेखा का समीकरण है, y = mx
स्पष्ट्तः `y^(2) = 4ax` एक परवलय है जिसका अक्ष x अक्ष है तथा शीर्ष मूल बिंदु है।
पुनः y = mx मूलबिंदु से गुजरता हुआ एक सरल रेखा है।
(2) से (1) में y = mx रखने पर मिलता है,
`m^(2) x^(2) = 4ax implies x (m^(2) x - 4a) = 0`
`implies x = 0` या, `x = (4a)/(m^(2))`
अब (2) से, `x = 0 implies y = 0` तथा `x = (4a)/(m^(2)) implies y = (4a)/(m)`
`:.`दिए हुए परवलय (1 ) तथा रेखा (2 ) के प्रतिच्छेद बिंदु हैं,
0 (0,0) तथा `A ((4a)/(m^(2)), (4a)/(m)). AP _|_ OX` खींचा ।
अभीष्ट क्षेत्रफल = (क्षेत्र OBAO का क्षेत्रफल)
`= int_(0)^(4a//m^(2)) (y_(1) - y_(2)) dx`
`= int_(0)^(4a//m^(2)) (2sqrt(ax) dx - int_(0)^(4a//m^(2)) mx dx [:' y^(2) = 4ax implis y = 2 sqrt(ax)]`
`2sqrt(a). (2)/(3) [x^(3//2)]_(0)^(4a/m^(2))`
`= [(4sqrt(a))/(3). (8)/(m^(3)) a^(3//2) - (m)/(2) . (16 a^(2))/(m^(4))] = ((32 a^(2))/(3m^(3)) - (8a^(2))/(m^(3))) = ((8a^(2))/(3m^(2)))` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल ` = ((8a^(2))/(3 m^(3)))`वर्ग इकाई