परवलय `x^(2) = y` तथा `y^(2) = x` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Explanation

दिए गए वक्रों के समीकरण हैं, `y^(2) = x`
तथा `x^(2) = y`
स्पष्ट्तः `x^(2) = y` एक परवलय है जिसका शीर्ष (0, 0) तथा अक्ष y -अक्ष है तथा `y^(2) = x` एक दक्षिण हस्त परवलय है। जिसका अक्ष x - अक्ष तथा शीर्ष (0 , 0 ) है। छायांकित क्षेत्र परवलय (1 ) तथा (2 ) से घिरे क्षेत्र को दर्शता है।
(1) तथा (2) से हमें मिलता है,
`(x = 0 implie y = 0)` तथा `(x = 1 implies y = 1)`
`:.` दिए गए वक्र (1 ) तथा (2 ) बिंदुएं O (0 , 0 ) तथा A (1 , 1 ) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
`AP _|_ OX` खींचा
अभीष्ट क्षेत्र OBAO का क्षेत्रफल
`= int_(0)^(1) sqrt(x) dx - int_(0)^(1) x^(2) dx= int_(0)^(1) (y_(1) - y_(2)) dx = int_(0)^(1) (sqrt(x) - sqrt(x^(2))) - dx`
`= [(2)/(3) x^(3//2)]_(0)^(1) - [(x^(3))/(3)]_(0)^(-1) = ((2)/(3) = (1)/(3)) = (1)/(3)` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल `= (1)/(3)` वर्ग इकाई `