परवलय `y^(2) = 4ax` तथा `x^(2) = 4ay` जहाँ `a gt 0` के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Explanation

दिए गए परवलय हैं, `y^(2) = 4ax`
तथा `x^(2) = 4ay`
परवलय (1 ) और (2 ) के प्रतिच्छेद बिंदुओं को निकालने के लिए हम समीकरण (1 ) और (2 ) को हल करते हैं।
(1) से `x = (y^(2))/(4a)`
x का मान (2 ) में रखने पर हमें मिलता है,
`(y^(4))/(16a^(2)) = 4ay implies y^(4) - 64 a^(3) y = 0`
`implies y (y^(3) - 64a^(3)) = 0 implies y = 0` या `y = 4a`
अब (1) से `(y = 0 implies x = 0)`
तथा `(y = 4a implies x = (16a^(2))/(4a) = 4a)`
इस प्रकार दोनों परवलयों के प्रतिच्छेद बिंदुएं हैं, O (0 , 0 ) तथा A (4a , 4a ) `AP _|_ OX`
खींचा । स्पष्ट्तः बिंदु P का नियामक (4a, 0) होगा।
अभीष्ट क्षेत्र OBAO का क्षेत्रफल `= int_(0)^(4a) (y_(1) - y_(2)) dx`
`= int_(0)^(4a) 2 sqrt(ax) dx` (परवलय `y^(2) = 4ax` के लिए ) `- int_(0)^(4a)` (परवलय `x^(2) = 4ay` के लिए )
`int_(0)^(4a) 2 sqrt(ax) dx - int_(0)^(4a) (x^(2))/(4a) dx`
`= [2sqrt(a). (2)/(3). x^(3//2)]_(0)^(4a) - (1)/(4a) [(x^(3))/(3)]_(0)^(4a) = [(4sqrt(a))/(3) . (4(a)^(3//2) - (1)/(12a) xx 64 a^(3)]` ltbgt `= ((32a^(2))/(3) - (16 a^(2))/(3)) = (16a^(2))/(3)` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल `= (16a^(2))/(3)` वर्ग इकाई