(i) समाकलन का प्रयोग कर वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16` तथा परवलय `y^2= 6x` के उभयनिष्ठ क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
(ii) समाकलन का उपयोग करते हुए वृत्त `x^(2) + y^(2) = 16` का क्षेत्रफल निकालें जो परवलय `y^(2) = 6x` के बाहर है।

Explanation

दिए गए वक्र हैं, `x^(2) + y^(2) = 16`
तथा `y^(2) = 6x`
`x^(2) + y^(2) = 16` एक वृत्त है जिसका केंद्र (0 , 0 ) तथा त्रिज्या 4 इकाई है। `y^(2) = 6x` एक परवलय है जिसका शीर्ष (0 , 0 ) तथा अक्ष y = 0 (x - अक्ष) है।
(2) से `y^(2)` का मान (1 ) में रखने पर हमें मिलता है,
`x^(2) + 6x - 16 = 0 implies (x + 8) (x - 2) = 0`
`implies x = - 8` या `x = 2`
अब (2 ) से , `x = - 8 implies y^(2) = - 48`
यह संभव नहीं है।
पुनः `x = 2 implies y^(2) = (6 xx 2) 12 implies y = +- 2 sqrt(3)`
इस प्रकार दिए हुए वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदुएं हैं, `A (2,2 sqrt(3))` तथा `B (2, - 2sqrt(3))`
समीकरण (1 ) तथा (2 ) में y की जगह - y रखने पर ये नहीं बदलते हैं, इसलिए वक्र (1 ) तथा (2 ) दोनों x अक्ष के सापेक्ष सममित है।
`:.` अभीष्ट क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्र OCDAO ) का क्षेत्रफल )
= 2 (क्षेत्र OCAO का क्षेत्रफल + क्षेत्र CDAC का क्षेत्रफल )
`= [int_(0)^(2) ydx [वक्र (2 ) के लिए ) + int_(2)^(4) ydx[वक्र (1 ) के लिए ]]`
`= 2 [int_(0)^(2) sqrt(6x) dx + int_(2)^(4) sqrt(16 - x^(2)) dx]`
`= 2 {[(2sqrt(6))/(3) . x^(3//2)]_(0)^(2) + [(x)/(2) sqrt(16 - x^(2)) + (16)/(2) "sin"^(-1) (x)/(4)]_(2)^(4)}`
`= 2{((2sqrt(6))/(3). 2^((3//2) - 0) + 8 "sin"^(-1) 1 - (2 sqrt(3) + 8 "sin"^(-1) (1)/(2))}`
`= 2 ((8sqrt(3))/(3) + 4 pi - 2 sqrt(3) - (4 pi)/(3))`
`= 2 ((2 sqrt(3))/(3) + (8 pi)/(3)) = (4)/(3) (sqrt(3) + 4 pi))` वर्ग इकाई
अतः अभीष्ट क्षेत्रफल `= (4)/(3) (sqrt(3) + 4 pi)` वर्ग इकाई
(iI) अभीष्ट क्षेत्रफल = वृत्त का क्षेत्रफल - क्षेत्र OADBO का क्षेत्रफल
`pi 4^(2) - (4)/(3) (sqrt(3) + 4pi) = (4)/(3) (8 pi - sqrt(3))`वर्ग इकाई
(iii) अभीष्ट अनुपात `= (4 pi + sqrt(3))/(8 pi - sqrt(3))`