x-अक्ष के ऊपर वृत्त `x^(2) + y^(2) =8x` एवं परवलय `y^(2) = 4x` के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिए गए वक्र हैं, `x^(2) + y^(2) = 8x`
तथा `y^(2) = 4x`
समीकरण (1 ) को `(x - 4)^(2) + (y - )^(2) = 4^(2)` के रूप में लिखा जा सकता है जो एक वृत्त निरूपित करता है जिसका केंद्र (4 , 0 ) तथा त्रिज्या 4 इकाई । समीकरण (2 ) अर्थात `y^(2) = 4x` एक दक्षिणहस्त परवलय निरूपित करता है जिसका शीर्ष (0 , 0 ) तथा अक्ष y = 0 है।
वक्र (1 ) तथा (2 ) के आलेख चित्र में दिखाया गया है। (1 ) तथा (2 ) को हल करने पर हमें मिलता है,
`x^(2) + 4x = 8x implies x^2) - 4x = 0 implies x = 0, 4`
जब x = 0, y = तथा जब x = 4, y = 4 (प्रथम पद में )
इस प्रकार x - अक्ष तथा क्ष - अक्ष के ऊपर दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु (0 , 0 ) तथा (4 , 4 ) हैं। अभीष्ट क्षेत्र चित्र में छायांकित है।
क्षेत्र OPRQO का क्षेत्रफल = क्षेत्र OPQO का क्षेत्रफल + क्षेत्र QPRQ का क्षेत्रफल
`=int_(0)^(4) ydx ("परवलय के लिए") + int_(4)^(8) ydx` (वृत्त के लिए )
`= 2 int_(0)^(4)sqrt(x) dx + int_(4)^(8) sqrt(4^(2) - (x - 4)^(2)) dx`
`( :' y^(2) = 4x implies y = 2` तथा `(x - 4)^(2) + y^(2) = 4^(2)`
`implies y = sqrt(4^(2) - (x - 4)^(2))` प्रथम पद में
`= 2 [(2)/(3) x^(3//2)]_(0)^(4) + int_(0)^(4) sqrt(4^(2) - t^(2)) dt`
(दूसरे समाकल में x - 4 = t रखें तो dx = dt , जब x = 4 , t = 0 तथा जब x = 8 , t = 4 )
``= (4)/(3) [4^(3//3) - 0] + [(tsqrt(4^(2)) - t^(2)))/(2) + (4^(2))/(2) "sin"^(-1) (t)/(4)]_(0)^(4)`
`= (4)/(3) xx 8 + (0 + "sin"^(-1) 0)`
`= (32)/(3) + 8. (pi)/(2) - 0 = (4)/(3) (8 + 3 pi)` वर्ग इकाई