सिद्ध कीजिए कि वक्र `y^(2) = 4x` एवं `x^(2) = 4y` रेखाओं `x = 0, x = 4, y = 0, y = 4` से घिरे वर्ग के क्षेत्रफल को तीन बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

Explanation

दिए गए वक्र हैं : `y^(2) = 4x`
तथा `x^(2) = 4y`
समीकरण `y^(2) = 4x` एक दक्षिण हस्त परवलय निरूपित करता है जिसका शीर्ष (0 , 0 ) तथा अक्ष y = 0 है और समीकरण `x^(2) = 4y`
एक upward परवलय निरूपित करता है जिसका शीर्ष (0 , 0 ) तथा अक्ष x = 0 है। दोनों परवलयों के आलेख तथा सरल रेखओं x = 0 , x = 4 , y = 0 और y = 4 से घिरे वर्ग को चित्र में दिखाया गया है।
वक्र `y^(2) = 4x` तथा `x^(2) = 4y` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल `= int_(0)^(4) (y_(1) - y_(2)) dx`
`int_(0)^(4)(2sqrt(x) - (x^(2))/(4)) dx`
`= [2.(x^(3//2))/((3)/(2)) - (1)/(4). (x^(3))/(3))]_(0)^(4)`
`= (4)/(3) (4^(3//2) - 0) - (1)/(12) (4^(3) - 0) = (32)/(3) - (16)/(3) = (16)/(3)` वर्ग इकाई
परवलय `x^(2) = 4y` तथा सरल रेखओं x = 4 तथा y = 0 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
`int_(0)^(4) ydx = int_(0)^(4) (x^(2))/(4dx = (1)/(4) ((x^(3))/(3))_(0)^(4) = (16)/(3)` वर्ग इकाई
परवलय `y^(2) = 4x` तथा सरल रेखाओं x = 0 तथा y = 4 से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल
`int_(0)^(4) x dy = int_(0)^(4) (y^(2))/(4) dy = (1)/(4) [(y^(3))/(3)]_(0)^(4) = (16)/(3)` वर्ग इकाई
(3),(4) तथा (5) से यह निष्कर्ष निकालता है कि दी हुई रेखाओं से घिरे वर्ग का क्षेत्रफल दिए हुए वक्रों से तीन बराबर भागों में विभाजित होता है।