क्षेत्र `{(x,y) : 0 le y le x^(2) + 1, y le x + 1,0 le x le 2}` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

अभीष्ट क्षेत्र , निम्नलिखित क्षेत्रों के उभयनिष्ट भाग हैं :
`R_(1)={(x,y), 0 le y le x^(2)+1},R_(2)={(x,y): 0 le y le +1}`
तथा `R_(3)={(x,y): 0 le x le 2}`
असमीका के संगत वक्र हैं, `y=x^(2)+1" या "x^(2)=y-1" ...(1)"`
तथा `" "y=x+1" ...(2)"`
वक्र (1 ) एक परवलय है जिसका अक्ष x = 0 तथा शीर्ष (0, 1) है।
वक्र (2 ) एक सरल रेखा है जो x - अक्ष को `(-1,0)` तथा y - अक्ष को (0, 1) पर प्रतिच्छेद करती है।
क्षेत्र `R_(1)` परवलय (1 ) के बहरी क्षेत्र (exterior ) तथा x - अक्ष के ऊपर का क्षेत्र है।
क्षेत्र `R_(2),x-` अक्ष के ऊपर का वह क्षेत्र है जो रेखा (2 ) के उस तरफ है जिधर मूलबिंदु है। `R_(3)` कोटियाँ x = 0 तथा x = 2 के बीच का क्षेत्र है।
वक्र (1 ) तथा (2 ) बिंदुएँ (0, 1) तथा (1, 2) पर मिलती हैं।
अब अभीष्ट क्षेत्रफल = (क्षेत्र ODCEBO का क्षेत्रफल )` +` (क्षेत्र DGFCD का क्षेत्रफल )
`=int_(0)^(1)(x^(2)+1)dx+int_(1)^(2)(x+1)dx`
`=[(x^(3))/(3)+x]_(0)^(1)+[(x^(2))/(2)+x]_(1)^(2)=((4)/(3)+(5)/(2))=(23)/(6)" "` वर्ग इकाई