क्षेत्र `{(x,y): x^(2) le y le x}`का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

Explanation

असमीका को समीकरण बनाने पर मिलता है,
`x^(2) = y` …(1)
तथा `y = |x|` ..(2)
स्पष्ट्तः `x^(2) = y` परवलय निरूपित करता है जिसका शीर्ष (0, 0) तथा अक्ष x = 0 है। परवलय `x^(2) le y` के अंदर के बिंदुओं के क्षेत्र को निरूपित करता है।
पुनः `y = |x| = {(x, जब x ge 0),(-x, जब x lt 0):}`
सरल रेखाएं OA तथा OB जो अक्षों से बराबर झुंकी हैं, y = |x| को निरूपित हैं। रेखाओं OA तथा OB के नीचे तथा x - अक्ष के ऊपर की बिंदुओं का क्षेत्र `y le |x|` को निरूपित करता है ।
इस प्रकार चित्र में छायांकित क्षेत्र अभीष्ट क्षेत्र है। वक्र (1 ) तथा (2 ) दोनों y - अक्ष के सपक्षे सममित है। अब अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्र OAEO का क्षेत्रफल ) इस में वक्र हैं, `x^(2) = y`
तथा y = x
(4) से y का मान (3 ) में रखने पर हमें मिलता है,
`x^(2) = x implies x (x - 1) = 0 implies x = 0` या x = 1
अब (4) से `(x = 0 implies y = 0)` तथा `(x = 1 implies y = 1)`.
इस प्रकार सरल रेखा y = x तथा वक्र `x^(2) = y` बिंदु O (0,0) तथा A (1,1) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
`AD _|_ OX`तथा `BC _|_ OX` खिंचा ।
`:.` अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्र OEAO) = 2 `int_(0)^(1) (y_(1) - y_(2)) dx`
`= 2 int_(0)^(1) ydx ("for the line" OA) - int_(0)^(1) ydx ("For the parabola")`
`= 2[int_(0)^(1) xdx - int_(0)^(1) x^(2) dx] = 2 {[(x^(2))/(2)]_(0)^(-1) - [(x^(3))/(3)]_(0)^(1)} = 2 [(1)/(2) - (1)/(3)]`
`= (2 xx (1)/(6)) = (1)/(3)` वर्ग इकाई ltbrअतः अभीष्ट क्षेत्रफल `= (1)/(3)` वर्ग इकाई