क्षेत्र `{(x,y): y^(2) le 4x, 4x^(2) + 4y^(2) le 9}` का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

माना कि `R = {(x,y) : y^(2) le 4x, 4x^(2) + 4y^(2) le 9}`
`= {(x,9) : y^(2) le 4x} uu {(x,y) : 4x^(2) + 4y^(2) le 9 } = R_(1) rr R_(2)`
जहाँ `R_(1) = {(x, y): y^(2) le 4x}` तथा `R_(2) = {(x, y) : 4x^(2) + 4y^(2) le 9}`
दिए गए असमिकाओं के संगत वक्रों के समीकरण हैं, `y^(2) = 4x` ,
तथा `4x^(2) +4y^(2) = 9`
वक्र (1) एक परवलय है जिसका अक्ष, अक्ष तथा शीर्ष (0,0) है।
x-अक्ष (2) एक वृत्त है जिसका केंद्र (0, 0) तथा त्रिज्या `(3)/(2)` है।
स्पष्ट्तः क्षेत्र `R_(1)` परवलय (1) के अंदर का क्षेत्र है और क्षेत्र `R_(2)` वृत्त (2 ) के अंदर का क्षेत्र है। इसलिए `R_(1) uu R_(2)` छायांकित है।
(1) से `y^(2)` का मान (2) में रखने पर हमें मिलता है,
`4x^(2) + 16x -9 = 0 implies x = (1)/(2), -(9)/(2)`
(1) से , `x = (1)/(2) implies y = +- sqrt(2)`
तथा `x = - (9)/(2)` संभव नहीं है क्योकि `x ge 0`
इस प्रकार `A -= ((1)/(2), sqrt(2))` तथा `C -= ((1)/(2), - sqrt(2))`
अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 क्षेत्र OABO का क्षेत्रफल
`=2 int_(0)^(sqrt(2)) (x_(1) - x_(2)) dy = 2 int_(0)^(sqrt(2)) (1)/(2) sqrt(3^(2) - (2y)^(2)) dy - 2 int_(0)^(sqrt(2) (y^(2))/(4) dy`
`= (1)/(2) int_(0)^(sqrt(2)) sqrt(3^(2) - z^(2)) dz - (1)/(2) [(y^(3))/(3)]_(0)^(sqrt(2))` [पहले समाकल में z = 2y रखने पर]
`= (1)/(2) [(zsqrt(9 - z^(1)))/(2) + (9)/(2) "sin"^(-1) (z)/(3)]_(0)^(2 sqrt(2)) - (1)/(6) 2 sqrt(2)`
`= (1)/(2) [sqrt(2) + (9)/(2) "sin"^(-1) (2sqrt(2))/(3)] - (2sqrt(2))/(3) = (sqrt(2))/(6) + (9)/(4) "sin"^(-1) (2sqrt(2))/(3)`
`= (sqrt(2))/(6) + (9)/(4) cos^(-1) (1)/(3)`
माना कि `"sin"^(-1) (2sqrt(2)/(4) = theta`, तो `"sin" theta = (2sqrt(2))/(3) तथा `cos = sqrt(1 - "sin"^(2) theta ) = (1)/(3)`
`= (sqrt(2))/(6) + (9)/(4) [(pi)/(2) - "sin"^(-1) (1)/(3)]`
`= ((sqrt(2))/(6) + (9pi)/(8) - (9)/(4) "sin"^(-1) (1)/(3))` वर्ग इकाई
second method:
`:.` अभीष्ट क्षेत्रफल = 2 (क्षेत्र OABO )
= 2 [(क्षेत्र OADO का क्षेत्रफल ) + (क्षेत्रफल DABD का क्षेत्रफल )]
`= 2 [int_(0)^(1//2) sqrt(4x) dx + int_(1//2)^(3//2) (sqrt(9 - 4x^(2)))/(2) dx]`
`= 4 int_(0)^(1//2) sqrt(x) dx + 2 int_(1//2)^(3//2) sqrt(((3)/(2))^(2) - x^(2)) dx`
`= 4.(2)/(3) [x^((3)/(2))]_(0)^((1)/(2)) + 2 [(9)/(8) "sin"^(-1) ((2x)/(3) + (x)/(2) (sqrt(9 - 4x^(2)))/(2)]_((1)/(2))^((3)/(2))`
`= (8)/(3.2sqrt()). + [(9)/(4) "sin"^(-1) ((2x)/(3)) + (x)/(2) sqrt(9 - 4x^(2))]_((1)/(2))^((3)/(2))`
`= (2sqrt(2))/(3) + (9)/(4) "sin"^(-1) (1) - (9)/(4) "sin"^(-1) ((1)/(3)) - (1)/(4) 2 sqrt(2)`
`= [(sqrt(2))/(6) + (9 pi)/(8) - (9)/(4) "sin"^(-1) ((1)/(3))]` वर्ग इकाई