प्रथम चतुर्थाश में वृत्त `x^(2) + y^(2) = 4`, रेखा `x = sqrt(3) y` एवं x - अक्ष द्वारा घिरे क्षेत्र के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिया गया वृत्त है, `x^(2), y^(2) = 4`
इसका केंद्र (0,0) तथा त्रिज्या है।
दी गई रेखा है, `x = sqrt(3) y`
(1) तथा (2) से हमें मिलता है,
`3y^(2) + y^(2) = 4 implies 4 y^(2) = 4 implies y^(2) = 1`
`implies = 1, -`. लेकिन प्रथम चतुर्थाश में `y ge 0`
`:. y = 1`
(2) से, जब `y = 1, x = sqrt(3). 1 = sqrt(3)`
`:.` प्रथम चतुर्थाश में वृत्त (1) तथा सरल रेखा (2) का प्रतिच्छेद बिंदु `P (sqrt(3) , 1)` है ।
अब अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल
= क्षेत्र OAMO का क्षेत्रफल + क्षेत्रफल + क्षेत्र MANM का क्षेत्रफल
`= int_(0)^(sqrt(3)) ydx` (सरल रेखा से ) `+ int_(sqrt(3))^(2) ydx` (वृत्त से )
`= int_(0)^(sqrt(3)) (x)/(sqrt(3)) dx + int_(sqrt(3))^(2) sqrt(4 - x^(2)) dx`
`= (1)/(sqrt(3)) [(x^(2))/(2)]_(0)^(sqrt(3)) + [(x sqrt(4 - x^(2)))/(2) + (4)/(2) "sin"^(-1) ((x)/(2))]_(sqrt(3))^(2)`
`= (1)/(sqrt(3)) ((3)/(2) - 0) + (1)/(2) (0 - sqrt(3)) + ("sin"^(-1) 1 - "sin"^(-1) (sqrt(3))/(2))`
`= (sqrt(3))/(2) - (sqrt(3))/(2) + 2 ((pi)/(2) - (pi)/(3)) = (pi)/( 3)` वर्ग इकाई