AOBA प्रथम चतुर्थाश में दीर्घ वृत्त `9x^(2) + y^(2) = 36` का एक भाग है जिसमे OA = 2 इकाई तथा OB = 6 इकाई है, जहाँ A और B दीर्घ वृत्त का क्रमशः : x -अक्ष और y -अक्ष कि प्रतिछेद बिंदुएं हैं। लघुचाप AB एवं जीवा AB के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Explanation

दिए गए दीर्घ वृत्त का समीकरण है,
`9x^(2) + y^(2) = 36` या , `(x^(2))/(2^(2)) + (y^(2))/(6^(2)) = 1`
दीर्घ वृत्त (1 ) का आलेख चित्र में दिखाया गया है।
चाप कर्ण AB समीकरण है।
`y - 0 = (6 - 0)/(0 - 2) (x - 2)`
या , y = - 3 (x - 2)
या, y = - 3x + 6
अभीष्ट क्षेत्रफल = छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल
` = int_(0)^(2) (y_(1) - y_(2)) dx`
`= 3 int_(0)^(2) sqrt(4 - x^(2)) dx - int_(0)^(2) (6 - 3x) dx`
`= 3 [(x)/(2) sqrt(4 - x^(2)) + (4)/(2) "sin"^(-1) (x)/(2)]_(0)^(2) - [6x - (3x^(2))/(2)]_(0)^(2)`
`= [(2)/(2) xx 0 + 2 "sin"^(-1) (1)] - [12 - (12)/(2)] = 3 xx 2 xx (pi)/(2) - 6 (3 pi - 6)` वर्ग इकाई `