निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल करें|
`(x^(2) + xy)dy =(x^(2)+y^(2))dx`.

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है
`(x^(2) + xy)dy = (x^(2) + y^(2))dx`

या, `(dy)/(dx) ``= (x^(2)+y^(2))/(x^(2)+xy)`.......(1)
यह समघातीय अवकल समीकरण है।

`y=vx` रखें,
तो x के सापेक्ष अवकलन करने पर

`(dy)/(dx) = v+x (dv)/(dx)`

अब अवकल समीकरण (1) मे मान रखने पर

`v+x(dv)/(dx) = (x^(2) + v^(2)x^(2))/(x^(2) + x.vx) ``= (1+v^(2))/(1+v)`

या, `x(dv)/(dx) = (1+v^(2))/(1+v) -v =(1-v)/(1+v)`

या, `(1+v)/(1-v)dv = (dx)/x`

या, `(2-(1-v))/(1-v)dv= (dx)/x`

समाकलन करने पर हमें मिलता है,

`int [2/(1-v) - 1]dv = int(dx)/x + c `

`rArr -2log|1-v| -v = log|x|+c`

`v` का मान रखने पर
`rArr -2 log|1-y/x| -y/x = log|x|+c`

`2 log|1-y/x| + y/x + log|x|+c = 0`

यही दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।