हल करें: `(dy)/(dx) = (y^(2)-x^(2))/(2xy)`

Explanation

दिया गया अवकल समीकरण है, `(dy)/(dx) = (y^(2)-x^(2))/(2xy)`
x की जगह kx और y की जगह ky रखने पर समीकरण (1) का RHS अपरिवर्तित रहता है,
`therefore` समीकरण (1) एक रैखिक संघातीय अवकल समीकरण (linear homogenous differential equation) है|
`y=vx`, रखें तो `(dy)/(dx) = v+x (dv)/(dx)`
अब दिया गया अवकल समीकरण हो जाता है,
`v+x(dy)/(dx) = (v^(2)x^(2)-x^(2))/(2vx^(2))` या, `(v+x(dv)/dx) = (v^(2)-1)/(2v)`
या, `(2v)/(1+v^(2))dv = -1/x dx therefore int (2v)/(1+v^(2))dv = -int 1/x dx`
`log|1+v^(2)| = - log|x|+log C` या, `log|1+v^(2)| + log|x| =log C`
या, `log|x(1+v^(2))|=log C` या, `x(1+v^(2)) = +-C`
या, `log|x(1+v^(2)) = C_(1)` या, `x(1+v^(2)) = +- C`
या, `(x^(2) + y^(2)) =C_(1)x`
यदि दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है|